魔方矩阵的特征值分析

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魔方矩阵是一个古老的“数学问题”,改用数学语言描述就是:如何生成一个3×3矩阵,并将自然数1,2,…,9分别置成这9个矩阵元素,才能使得每一行、每一列、且主、反对角线上元素相加都等于一个相同的数。

现在把这一概念加以推广,就是如何生成一个n×n矩阵,并将自然数1,2,…,n2分别置成这n2个矩阵元素,才能使得每一行、每一列、且主、反对角线上元素相加都等于一个相同的数sum(n),此处称之为魔方值。(数独游戏)

魔方矩阵的特征值分析

运用Matlab软件,计算不同阶数(n)的魔方矩阵的特征值,记b(n)为n阶魔方矩阵的特征向量的转置,sum(n)为魔方值。为简便,此处不在显示矩阵本身。

当n为奇数时:

b(3)=(15.0000    4.8990    -4.8990),sum(3)=15。

b(7)=(175.0000    -56.4848    -31.0882    -25.3967    56.4848   25.3967    31.0882),sum(7)=175。

当 n=9时 , 魔方矩阵的特征值曲线如图 1 , 由图可见, 除最大特征值为魔方值外, 其余特征值正负成对出现。

魔方矩阵的特征值分析

当 n =19 时, 魔方矩阵的特征值曲线如图 2, 由图可知 :最大特征值为魔方值, 其余特征值正负成对出现。

n =1159 时, 魔方矩阵的特征值曲线图显示出有和上面相同的结论 。

当n为偶数时:

b(6)=(111.0000    27.0000   -27.0000    9.7980    -0.0000    -9.7980),sum(6)=111。

b(8)=1.0e+002 *(2.6000, 0.5185, -0.5185,0.0000, 0.0000-0.0000i , 0.0000+0.0000i ,-0.0000-0.0000i , -0.0000+0.0000i),sum(8)=260

当 n ≥8 时, 魔方矩阵有复特征值出现 , 所有复特征值均为 0, 且共轭成对出现。

当n =18 时, 魔方矩阵的特征值分布如图3 (图中所有复特征值0±0i 记为 0)。由图可知 :最大特征值为魔方值 , 其他实特征值或者正负成对出现或者为0 。

当n =188时 , 魔方矩阵的特征值曲线图显示同上结论。

魔方矩阵的特征值分析

通过上面的数值试验 , 我们可以得到如下猜测:

对于 n 阶魔方矩阵 , n 为奇数时 , 矩阵的特征值均为实特征值 , 除最大特征值为魔方矩阵的魔方值外 , 其他特征值正负成对出现 。

n 为偶数时, 模最大特征值为矩阵的魔方值 , 其他实特征值或者为 0, 或者正负成对出现, 若有复特征值 , 则所有复特征值的模为 0 , 且共轭成对出现。


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