数学课程的十个核心概念——(六)运算能力

数的运算是人们在日常生活中应用最多的数学知识,它历来也是小学数学教学的基本内容。《课程标准(2011)》指出:“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理,寻求合理简洁的运算途径解决问题。”

作为数学学科的三大能力(运算能力、空间想象能力、逻辑思维能力)之一,运算能力的价值体现在:第一,在日常生活中有广泛的应用;第二,学习运算法则和运算定律的过程对培养学生的思维能力有重要作用;第三,拥有运算能力是学生今后学习天文、地理、物理、化学等的前提。所以,运算能力是每个公民必须具备的基本素养之一,我们老师一定不能放松对学生运算能力的培养。那么我们该如何发展学生的运算能力呢?

1.明晰运算教学的改革思路,明确运算能力意义与范畴的拓展之处。

关于运算,第一学段的总体要求是:“应重视口算,加强估算,提倡算法多样化;应减少单纯的技能训练,避免繁杂计算和程式化地叙述算理”;第二学段的总体要求是:“应重视口算,加强估算,鼓励算法多样化;应使学生经历从实际问题中抽象出数量关系,并运用所学知识解决问题的过程;应避免繁杂的运算,避免将运算与应用割裂开来,避免对应用题进行机械的程式化训练。”可见,运算已经由过去只注重笔算拓展到笔算、口算、估算并重,由过去只单纯地注重技能技巧,拓展到对运算过程中数学思考的重视,由过去单一的计算范畴,拓展到现在“能够寻求合理简洁的运算途径解决问题”。

2.重视帮助学生深刻理解各种数的内涵

在小学阶段,学生会学习到整数、小数、分数、百分数的意义与运算。在实践中我们发现,算法多样化时学生方法单一、墨守成规,解决分数应用题时学生乘除混淆,其深层次原因乃是学生对这些数的意义理解不深。意义理解的不到位,直接影响了运算过程中算理的理解和算法的选择,影响到了运算律的建模以及解决问题方法的确定。所以,教学中应关注学生对整数的位置值的理解,对数的组成与分成的理解;学习小数时,对小数与整数联系的理解,对计数单位的理解;学习分数、百分数时,对分子、分母的理解,对其意义的理解。数的意义理解透了,运算的方法和解决问题的路径也就有了。

3.重视帮助学生深刻理解四则运算的意义

随着社会的发展,只是求结果的运算,终究会向计算器倾斜。运算除了是为求得结果,其意义更在于用运算结果解决问题,而对四则运算意义的深刻理解,显然是选择算法的前提。比如对乘法意义的理解深了,意识强了,学习乘法分配律时,才不会只从乘法分配律的外在形式上去掌握,而会理解为a个c加b个c等于(a+b)个c。加法有了,减法也就可以顺推理解了。形如37×19+37这种变式呈现,也就可以解决了。

【案例】“小题”也可“大做”——两位数乘一位数的口算教学片段

师:24×5是否等于100呢?看来同学们产生了意见分歧,下面我们来讨论一下:(1)24×5到底得多少?(2)你猜猜得数是100的同学是怎样想的,怎样算的?(3)怎样克服这种错误再出现?(学生讨论并汇报结果)

生1:我们算出的结果是120,所以24×5=100是错的。

师:那么,你们认为得数是100的同学是怎么想的呢?

生2:我想他可能是算了4×5=20,20×5=100,忘了把进位的20加上去了。

师:那么,有什么办法不漏掉进位的数呢?

生3:可以在十位上写上小2,提醒自己。

师:这种方法就像我们原来算加法一样,满几十就向前一位进几。真是不错的方法。还有其他的看法吗?

生4:我不是忘了进位,主要是看错题了,我把24×5想成了25×4了,因为老师讲过25×4=100,所以我一看就写了100。

师:像这样容易看错的算式还挺多的,你们还能找出这样的算式吗?(学生找出了16×5与15×6、26×3与23×6、14×5与15×4等)

【案例剖析】

教学中我们会发现,不少学生会犯6×9=45、14×5=60这样的错误,甚至长久难以更改。究其原因,最初做错时只是把答案改正确,而未从根源上找出原因,从而出现改是改了,下次遇到还做错的怪圈。

这位老师是一个很有心的人,发现了学生共性的错误,并没有简单的让学生一改了之,而是将错误放大,引导学生发现从中反映出来的共性问题。具体说来,老师在以下几个方面的教学行为值得肯定。

第一,从教学目标上来看,注意指向问题的本质所在。通过“24×5到底得多少”,引导学生发现并改正计算中的错误;通过“你猜猜得数是100的同学是怎样想的,怎样算的”,引导学生将计算习惯、思维潜意识中的问题暴露出来;通过“像这样容易看错的算式还挺多的,你们还能找出这样的算式吗”,引导学生从个例现象上升到共性问题;通过“怎样克服这种错误再出现”,引导学生从思维源头上杜绝此类错误的再发生。本来一个很简单的错题改正,在教师的艺术引领和不断追问中,实现了由点到面、由小到大、由外在形式到思维本质上的提升。

第二,从教学方式上来看,教师善于等待,注意退居幕后适时点拨。学生的基本素质不同,学习能力不同,导致学情千差万别,如果用我们老师的逻辑思维来判断学生的情况,真实的学情往往会被隐藏在臆断背后。在本课中,老师并未对学生错因主观臆断,同时也未给予急不可待的帮助,而是让学生充分表达自己的想法后,辨清思路,让讨论不断深化。一句“你猜猜得数是100的同学是怎样想的,怎样算的”,让老师由前台移至了后位,当一名忠实的倾听者,让学生自主交流,这样师生都能感受到出现24×5=100的各种原因。教师通过学生的反思和自省,捕捉到了许多信息,也正是教师的等待才生成了精彩:24×5和25×4是将两个数的个位上的数进行了交换,而两个算式的结果不同,与乘法交换律是不一样的,因此在算24×5时,不能受25×4这一特殊算式的误导。

可见,当学生出现错误时,适度放大错误,有利于放开展学生的思维,促进多元化的思考。原来,“小题”也可“大做”!